Чтение онлайн

Если это так, то можно тотчас же показать, что рассматриваемая система дифференциальных уравнений недостаточна для полного определения яд, xz,.,.,xv как функций от t. Во втором случае уравнения Di=D2= ... =Z>V=0 дают различные соотношения, которые должны иметь место для яд, х2 ..., xv. Принимая во внимание эти уравнения, исключаем столько х\, сколько можно; для остальных получают систему дифференциальных уравнений той же формы, для которой, однако, детерминант не тождественно равен нулю.

Если теперь D не тождественно равен нулю, то для того, чтобы получить все же особые решения, для которых D=О, нужно взять V—1 любых из предложенных уравнений и присоединить к ним уравнение D=0.

Для этой новой системы ищут все регулярные решения ii пытаются тогда между ними найти такие, для которых удовлетворяется последнее, v-e, отброшенное уравнение первоначальной системы.

Таким образом действуют и дальше; однако таким путем никогда нельзя прийти к неаналитическому решению данной системы. Должна ли я теперь названное место в Вашем письме понять так, что Вы действительно можете доказать* что может все же существовать неаналитическое решение алгебраического дифференциального уравнения?

Пожалуйста, будьте так любезны, напишите мне, что Вы об этом знаете. Если Ваше исследование не вполне зрело, то я, естественно, ни с кем не буду об этом говорить [Р 22].

Приведем отрывок письма Рунге:

Уравнение х2=2ау—а2 представляет для всех вещественных значений а семейства парабол, а прямые х=±у являются огибающими этого семейства. Оно представляет решение дифференциального уравнения

Где

являются его особыми решениями. Чтобы иметь ту же самую форму, которую мы имели в предыдущих письмах, я полагаю

r

Функция

) имеет в каждой точке определенное значение (кроме точки ; но она не разлагается в ряд по степеням вблизи такой точки. Эти точки образуют границу области та для которой является регулярной,

256

Однако мы не имеем лакунарной области, это является невозможным для алгебраических функций.

Возьмите теперь одно из двух особых решений, например х= у—t оно конечно, для всех значений t определено, однако эти точки (я, у) лежат на границе области т. Вопрос о том, имеют ли аналитические дифференциальные уравнения неаналитические решения, здесь, однако... [На этом отрывок кончается] [Р 23],

Эта переписка характеризует математические интересы Ковалевской и ее живую связь с математиками, получившими в Берлине математическое образование. Как видно, она быстро осваивается со способом Рунге доказательства теоремы существования для уравнений

и систем уравнений достаточно общего вида и сразу начинает применять его в преподавательской практике. Высказывания Рунге об особых решениях вызывают у Ковалевской большой интерес и заставляют ее высказать свои соображения по этому вопросу, к сожалению, сохранившиеся лишь в виде отрывка.

Одним из друзей Ковалевской был Густав Ханземан, физик, не занимавший официального положения, человек состоятельный, сын прусского политического деятеля: Давида Ханземана, одного из лидеров крупной рейнской буржуазии. В 1848 г. Д. Ханземан стал министром финансов в прусском буржуазно-либеральном правительство и некоторое время являлся главой правительства.

Г. Ханземан не был математиком, но он поддерживал тесное знакомство с немецкими математиками, был в курсе всех их дел и писал о них Ковалевской. Им опубликованы три статьи по электрическим и температурным свойствам металлов, совместное Кирхгофом,вероятно,его учителем. Когда Ковалевская познакомилась с Ханзема- ном, он был уже пожилым человеком.

Ханземан отличался сердечностью, он заботился о развлечениях «молодежи», т. е. людей более молодых, чем он сам, к которым он относил и Софью Васильевну. На специальном катке около своего дома Ханземан обучал ее катанию на коньках. Он приглашал Ковалевскую в театр. Порой она отказывалась, когда в ней, как она говорила, «дедушка-педант» брал верх над «бабушкой-цыган-» кой», и ей нужно было заниматься математикой. Один раз, когда Ханземан пригласил в театр и Вейерштрасса, тот сказал, что не успел еще проверить выкладки к завтрашней лекции. Ковалевская быстро проделала необходимые преобразования, и все трое пошли в те&тр*

257

Одно из первых писем Ковалевской Ханземану6 пред-* ставляет записку, написанную 11 июля 1884 г., когда она на каникулах находилась в Берлине. Она пишет: «Дорогой господин [Ханземан]! Нужно действительно обладать большой силой воли, чтобы отказаться от Вашего любезного предложения, но мне крайне необходимо поработать над тем, что я хочу в воскресенье представить Вейерштрассу. Во всяком случае я Вам горячо благодарна и утешаю себя надеждой, что нам в течение зимы удастся с Вами посмотреть „Нищего студента“. С сердечным приветом Ваша Софья Ковалевская» [184].

Софья Васильевна на зимних каникулах 1884/1885 г. находилась в Берлине. По возвращении в Стокгольм она послала письмо Ханземану 25 января 1885 г., которое он получил только 30 января, когда стал уже беспокоиться о том, как она доехала. Он отвечает ей 2 февраля 1885 г.: «Вы пишете, чтобы я не совсем забыл своего друга, Соню Ковалевскую. Ах, моя дорогая фрау Соня, мне каждый день хочется с Вами поговорить, и я очень скучаю без этих бесед, к которым я успел уже привыкнуть за время Вашего пребывания здесь. Вы ведь знаете, какая у меня потребность в таком друге, которому бы я вполне доверял и с которым мог бы говорить обо всем, что приходит в голову, и таким милым, хорошим и умным другом Вы мне стали, и надеюсь, что таким же и останетесь» [85, с. 27].

Ханземан рассказывает в письме о катании на коньках на большом катке около Потсдама, в котором он в числе 25 человек принимал участие по приглашению г-жи Дюбуа-Реймон, супруги Эмиля Дюбуа-Реймона. Далее Ханземан пишет: «В театре я был на прошлой неделе только один вечер, с Вейерштрассом в Резиденцтеатре. Сначала играли ужасно глупую и скучную французскую пьесу, но затем дали такую прелестную немецкую комедию, „Наездницу“ Поля, что мы были совершенно вознаграждены за перенесенную скуку. Вдобавок играла прелестная актриса, от которой мы, конечно, пришли в восторг» [85, с. 28].