Чтение онлайн

представляет высказывание «Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день» и т.п. Подставляя вместо переменных другие конкретные (истинные или ложные) высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.

Формула, которой не соответствует осмысленное предложение, построена неправильно.

Таковы, в частности, формулы:

(А →), ( & В), (A v ВС), ( ~ & ) и т.п.

Каждой формуле логики

высказываний соответствует таблица истинности, показывающая, при каких подстановках конкретных высказываний в данную формулу она даёт истинное сложное высказывание, а при каких ложное. Например, формула (~ В → ~ А) даст ложное высказывание, только если вместо В подставить ложное высказывание, а вместо А — истинное.

Всегда истинная формула логики высказываний, или тавтология, — это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках, в неё конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний.

Иными словами, внутренняя структура тавтологии гарантирует, что она всегда превратится в истинное высказывание, какими бы конкретными высказываниями мы ни заменяли входящие в неё переменные.

Всегда ложная формула, или логическое противоречие, всегда превращается влажное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо её переменных.

Покажем для примера что формула:

(А — В) → (~ В → ~ А)

является тавтологией. Для этого переберём варианты подстановок вместо переменных А и В конкретных высказываний. Таких вариантов, очевидно, четыре: оба подставляемых высказывания истинны, оба они ложны, первое из них истинно, а второе ложно, и первое ложно, а второе истинно.

В результирующей колонке таблицы встречается только значение «истинно», т.е. формула является всегда истинной.

Нетрудно убедиться, например, что формула:

(А & → А)

является всегда ложной, т.е. противоречием.

Множество тавтологий бесконечно.

Центральным понятием логики в целом и логики высказываний как её части являются понятия логического закона и логического следования. Они могут быть определены через понятие тавтологии.

Логический закон логики высказываний — это тавтология данной логики. Иными словами, множество законов логики высказываний и множество её тавтологий совпадают: каждый закон есть тавтология, и каждая тавтология есть закон. Это означает, что для установления того, является ли некоторая формула законом логики высказываний, достаточно с помощью таблиц истинности убедиться, является ли эта формула тавтологией. Логическим законом является, в частности, только что рассмотренная всегда истинна формула:

(А → В)(~

В → ~ А).

Таким образом, логический закон можно определить как выражение, содержащее только логические константы и переменные и являющееся истинным в любой (непустой) области объектов.

В обычном языке слово «тавтология» означает повторение того, что уже было сказано: «Жизнь есть жизнь», «Театр — это театр» и т.п.

Тавтологии бессодержательны и пусты, они не несут никакой информации. От них стремятся избавиться как от ненужного балласта, загромождающего речь и затрудняющего общение.

Иногда, однако, случается, что тавтология наполняется вдруг каким-то чужим содержанием. Попадая в определённый контекст, она как бы светит отражённым светом.

Один писатель сказал о своём герое: он дожил до самой смерти, а потом умер. Козьме Пруткову принадлежит афоризм: «Не будь цветов, все ходили бы в одноцветных одеяниях». Буквально говоря, это тавтология и пустота. Но на самом деле смысл здесь все-таки есть, хотя это и не собственный смысл данных фраз, а отражаемый или навеваемый ими смысл.

Слово «тавтология» широко используется для характеристики законов логики. В качестве логического термина оно получило строгие определения применительно к отдельным разделам логики.

В общем случае, логическая тавтология — это выражение, остающееся истинным независимо от того, о какой области объектов идёт речь, или «всегда истинное выражение ».

Все законы логики являются логическими тавтологиями. Если в формуле, представляющей закон, заменить переменные любыми постоянными выражениями соответствующей категории, эта формула превратится в истинное высказывание.

Например, в формулу «А или не-А », представляющую логический закон, вместо переменной А должны подставляться высказывания. Результаты таких подстановок: «Дождь идёт или не идёт», «Два плюс два равно нулю или не равно нулю», «Пегас существует или его нет» и тому подобное. Каждое из этих сложных высказываний является истинным. И какие бы дальнейшие высказывания ни подставлялись, результат будет тем же — полученное высказывание будет истинным.

Из тавтологии «Дождь идёт или не идёт» мы ничего не можем узнать о погоде. Тавтология «Неверно, что Пегас есть и его нет» ровным счётом ничего не говорит о существовании Пегаса. Ни одна тавтология не несёт содержательной информации о мире.

Тавтология не описывает никакого реального положения вещей. Она совместима с любым таким положением. Немыслима ситуация, сопоставлением с которой тавтологию можно было бы опровергнуть.

Эти специфические особенности тавтологий пытались истолковать как несомненное доказательство отсутствия какой-либо связи законов логики с действительностью. Законы логики представляют собой априорные, известные до всякого опыта истины. Они не являются бессмысленными, но вместе с тем не имеют и содержательного смысла. Их невозможно ни подтвердить, ни опровергнуть ссылкой на опыт. Их функция — быть каркасом, строительными лесами нашего знания, указывать приемлемые преобразования выражений языка.