Чтение онлайн

i

если В– И-вершина

Хотя стартовая вершина А и не имеет предшественника, будем считать, что стоимость ведущей в нее (виртуальной) дуги равна 0. Если положить h равным 0 для всех вершин И / ИЛИ-дерева, то для любого найденного оптимального решающего дерева окажется, что его стоимость, т.е. сумма стоимостей его дуг, в точности равна F( A).

На любой стадии поиска каждый преемник ИЛИ-вершины соответствует некоторому альтернативному решающему дереву-кандидату.

Процесс поиска всегда принимает решение продолжать просмотр того дерева-кандидата, для которого F– оценка минимальна. Вернемся еще раз к рис. 13.4 и посмотрим, как будет вести себя процесс, поиска на примере И / ИЛИ-графа, изображенного на этом рисунке. В начале дерево поиска состоит всего из одной вершины - стартовой вершины а, далее дерево постепенно "растет" до тех пор, пока не будет найдено решающее дерево. На рис. 13.10, показан ряд "мгновенных снимков", сделанных в процессе роста дерева поиска. Для простоты мы предположим, что h = 0 для всех вершин. Числа, приписанные вершинам на рис. 13.10 - это их F– оценки (разумеется, по мере накопления информации в процессе поиска они изменяются). Ниже даются некоторые пояснительные замечания к рис. 13.10.

После распространения поиска из первоначального дерева (снимок А) получается дерево В. Вершина а– это ИЛИ-вершина, поэтому мы имеем два решающих дерева-кандидата: b и с. Поскольку F( b) = 1 < 3 = F( c), для продолжения поиска выбирается альтернатива b. Насколько далеко может зайти процесс роста поддерева b? Этот процесс может продолжаться до тех пор, пока не произойдет одно из двух событий:

(1) F– оценка вершины b станет больше, чем F– оценка ее конкурента с, или

(2) обнаружится, что найдено решающее дерево.

В связи с этим, начиная просмотр поддерева-кандидата b, мы устанавливаем верхнюю границу для F( b): F( b) <= 3 = F( c). Сначала порождаются преемники d и е вершины b (снимок С), после чего F– оценка b возрастает до 3. Так как это значение не превосходит верхнюю границу, рост дерева-кандидата с корнем в b продолжается. Вершина d оказывается целевой вершиной, а после распространения поиска из вершины е на один шаг получаем дерево, показанное на снимке D. В этот момент выясняется, что F( b) = 9 > 3, и рост дерева b

Рис. 13. 10. Трассировка процесса поиска с предпочтением в

И / ИЛИ-графе ( h = 0) при решении задачи рис. 13.4.

прекращается. В результате процесс поиска не успевает "осознать", что h– это тоже целевая вершина и что порождено решающее дерево. Вместо этого происходит переключение активности на конкурирующую альтернативу с. Поскольку в этот момент F( b) = 9, устанавливается верхняя граница для F( c), равная 9. Дерево-кандидат с корнем с наращивается (с учетом установленного ограничения) до тех пор, пока не возникает ситуация, показанная на снимке Е. Теперь процесс поиска обнаруживает, что найдено решающее дерево (включающее в себя целевые вершины h и g),

на чем поиск заканчивается. Заметьте, что в качестве результата процесс поиска выдает наиболее дешевое из двух возможных решающих деревьев, а именно решающее дерево рис. 13.4(с).

13. 4. 2. Программа поиска

Программа, в которой реализованы идеи предыдущего раздела, показана на рис. 13.12. Прежде, чем мы перейдем к объяснению отдельных деталей этой программы, давайте рассмотрим тот способ представления дерева поиска, который в ней используется.

Существует несколько случаев, как показано на рис. 13.11. Различные формы представления поискового дерева возникают как комбинации следующих возможных вариантов, относящихся к размеру дерева и к его "решающему статусу".

Размер:

(1) дерево состоит из одной вершины (листа)

или

(2) оно имеет корень и (непустые) поддеревья.

Решающий статус:

(1) обнаружено, что дерево соответствует

решению задачи( т. е. является решающим

деревом) или

(2) оно все еще решающее дерево-кандидат.

Основной функтор, используемый для представления дерева, указывает, какая из комбинаций этих воз-

Рис. 13. 11. Представление дерева поиска.

можностей имеется в виду. Это может быть одна из следующих комбинаций:

лист решлист дер решдер

Далее, в представление дерева входят все или некоторые из следующих объектов:

корневая вершина дерева,

F– оценка дерева,

стоимость С дуги И / ИЛИ-графа, ведущей в корень дерева,

список поддеревьев,

отношение (И или ИЛИ) между поддеревьями.

Список поддеревьев всегда упорядочен по возрастанию F– оценок. Поддеревья, являющиеся решающими деревьями, помещаются в конец списка.

Обратимся теперь к программе рис. 13.12. Отношение самого высокого уровня - это

и_или( Верш, РешДер)

где Верш– стартовая вершина. Программа строит решающее дерево (если таковое существует), рассчитывая на то, что оно окажется оптимальным решением. Будет ли это решение в действительности самым дешевым, зависит от той функции h, которую использует алгоритм. Существует теорема, в которой говорится о том, как оптимальность решения зависит от h. Эта теорема аналогична теореме о допустимости алгоритма поиска с предпочтением в пространстве состояний (гл. 12). Обозначим через С( В) стоимость оптимального решающего дерева для вершины В. Если для каждой вершины В И / ИЛИ-графа эвристическая оценка h( B) <= C( B), то гарантируется, что процедура и_или найдет оптимальное решение. Если же h не удовлетворяет этому условию, то найденное решение может оказаться субоптимальным. Существует тривиальная эвристическая функция, удовлетворяющая условию оптимальности, а именно h = 0 для всех вершин. Ее недостатком является отсутствие эвристической силы.

Основную роль в программе рис. 13.12 играет отношение

расширить( Дер, Предел, Дер1, ЕстьРеш)

Дер и Предел– его "входные" аргументы, а Дер1 и ЕстьРеш– "выходные". Аргументы имеют следующий смысл:

Дер– дерево поиска, подлежащее расширению.

Предел– предельное значени F– оценки, при котором еще разрешено наращивать дерево Дер.